Disclaimer: целта на тази публикация не е дискусии за COVID, имат ли смисъл тестването, дистанцията, мерките, маските и т. н., а по-скоро да разгледаме един практически проблем от математическо-информатична гледна точка.
Някои от лабораториите, които правят PCR тестове, могат да ги направят групово, за да спестят средства. Например, ако смесите пробите на двама души и пробите и на двамата се окажат отрицателни, то няма смисъл да правите отделни PCR-тестове. Ако дори един от тях обаче има положителна проба, ще трябва да повторите тестовете и да направите 3 вместо 2 теста.
Това лесно можем да формулираме като задача със следните условия:
1. Трябва да направим тестове на голяма група хора.
2. Приемаме, че възможният резултат от теста е положителен или отрицателен. Ако е положителен, трябва да се провери с по-малка група хора. Ако е отрицателен – ясно е, че всички са отрицателни.
3. Единственият начин да разберем, че даден човек има COVID-19, е да направим един-единствен тест на един-единствен човек и резултатът му да е положителен.
4. Искаме да направим минимален общ брой тестове.
5. Не искаме да правим повече от три теста на един и същи човек, защото ще отнемат твърде много време.
6. Шансът тест на един човек да е положителен е 11,261% (резултати от последните 3 седмици или от 1 октомври 2020 г. насам, базирано на общ брой тестове срещу общ брой новозаразени).
7. Можем да групираме тестовете по колкото си решим и търсим оптималното групиране.
Като бивш състезател по информатика, веднага мога да кажа, че това си е задача от динамично оптимиране – за T(1,1) – 1 тест на 1 човек, знаем, че шансът е 11,261% за (+) и 88,732% за (-)… Търсим T(min,100).
Отговор:
Лесно можем да видим какво се случва между това да тестваме много хора поотделно или да ги групираме заедно:
Ако тестваме 100 души поотделно, ще направим 100 теста и ще знаем какво се случва при всеки от тях.
Ако ги тестваме по двойки, ще направим 50 теста. Прогнозата е, че от тях 79% (39 теста) ще излязат отрицателни, а 21% (11 теста) – положителни. Ще трябва да ги повторим за всеки поотделно, т.е. 11 x 2 = 22 теста, или общо 50 + 22 = 72 теста.
Ако ги тестваме по тройки, ще направим 33 теста, с прогноза за 30% положителни тестове (11 теста). Ще трябва да повторим тези 11 теста за всеки поотделно, т.е. 11 х 3 = 33 теста, или общо 34+33 = 67 теста.
По тази логика, виждаме, че най-добре е PCR тестовете да се групират по четворки и петици, като при четворките шансът да „мине“ тестът от първия път е по-голям, така че това е най-добрият вариант. Ако тестът излезе положителен, все пак е по-добре да направим теста по двойки след това, вместо четири отделни теста.
В крайна сметка най-добрият алгоритъм при тази заболеваемост е:
1. Групират се по четоврки и се прави първи тест.
2. За четворките, които са позитивни, се прави отделен тест „две по две“
3. За двойките, които са позитивни, се прави отделен тест на всеки от двойката.
В този случай, при 100 души:
- Правим 25 теста по четворки.
- Очакваме 10 положителни, правим още 20 теста по двойки.
- Очакваме 5 положителни, правим още 10 единични теста.
Така с около 55 теста (могат да варират между 25 и 100 в най-добрия и най-лошия случай) ще знаем индивидуалните резултати на всеки тестван!
Ако приемем, че един PCR тест струва на лабораторията 15 лв., то лабораторията би спестила 675 лв. на всеки 100 тествани души. Само от началото на октомври досега лабораториите в България биха спестили 100489 x 0,45 x 15 лв. = 678 300 лв. или половин милион! Ако трендът от октомври се запази за цяла година, говорим за спестени около 11 790 000 лв. годишно, или 786 000+ направени PCR теста по-малко само в България!
Здравейте,
Сега попаднах на тази ваша публикация и реших, без лоши чувства, да въведа някои пояснения от практиката.
Математически погледнато сте много прав, но всъщност лабораторната работа не е като математическата. На практика, преди да се пристъпи към същността на PCR, трябва да се изолира вирусната РНК от пробите. Ако се прави сборна проба, то тя се прави на тази стъпка. Обединят ли се обемите на двете проби, заедно с тампоните, няма начин след това да бъдат разделени и да се разбере коя проба е била положителната. Може да се вземе определен обем от самата среда, в която е престоял тампонът и да се смеси с друга такава. Ако след това обаче сборната проба позитивира, то трябва отново да се екстрахира РНК от двете изходни проби, но поотделно. Дори да са сложени четири проби в сборната, повторение обикновено следва да се прави за всяка отделна проба. Ръчното екстрахиране на РНК от 24 проби (толкова проби събира една центрофуга за епруветки, която е основно техническо техническо стедство в процеса) поотделно отнема около 1, 5 часа. Има роботи, извършващи стъпката на екстракция, което оскъпява процеса, но позволяват да се обработват малко повече проби едновременно, но времетраенето е горе-долу същото. Самата PCR отнема също около 1,5 часа минимум. Ако се работи по алгоритъма, описан от вас, е невъзможно получаването на категоричен резултат за всяка проба в рамките на един ден, както искаме и очакваме да бъде. Може да се допусне евентуално смесване на екстрахираните РНК-и преди добавянето им към реакционната смес за PCR, но тук вече ства въпрос за съвсем малки обеми (едва няколко микролитра), което може да доведе до неточност в полученият резултат и като цяло е не много профвсионална практика. Не бих се доверила на лаборатория, която следва подобен протокол.
Отделно, не всяка PCR реакция позволява обединяването на проби, или ако позволява, то да е възможно да се обединят 2, но не и повече проби, защото това може да доведе до понижаване чувствителността на метода.
Освен това, описаният от Вас алгоритъм, не би изглеждал точно така, защото ако ще се обединяват проби, всеки опитен молекулярен биолог би обединил проби от хора, посочили в декларацията си липса на симптоматика, което от своя страна може да е предпоставка за очакване на отрицателен резултат. Пробите на симптоматичните пациенти бих тествала индивидуално, защото там вероятността една от две проби да е положителна е по-голяма и няма смисъл от загуба на време и консумативи, които не се изчерпват само до реактивите за реакцията, а и до значително количество пластмасови консумативи.
Всички тези фактори със сигурност променят ъгъла и на математическия поглед върху нещата.
С най-добри чувства
Много благодаря за подробното обяснение!