Петък е… отдавна не съм ви мъчил със логически загадки, така че ако сте в настроение, четете по-надолу…
Вляво е сградата „Тайпе101“, най-високата сграда в света до тази година, когато откриха Бурж Халифа в Дубай…
Та, представете си, че имате две билярдни топки и искате да разберете, кой е най-високият етаж, от който може да хвърлите билярдна топка, без тя да се счупи.
Единственият начин да го направите е емперично, тоест чрез множество опити.
Ясно е, че ако счупите двете билярдни топки преди да разберете отговора, мисията ви ще е неуспешна.
Ясно е, че ако хвърлите топката първо от 1-ви етаж, после от 2-ри, после от 3-ти и т. н., докато най-накрая се счупи, след най-много 100 опита ще знаете отговора на въпроса.
Големият въпрос е: как ще разберете отговора с две билярдни топки и минимален брой опити?
Чакам коментари.
Започвам да пускамм от всеки четен етаж докато не се счупи едната топка. Тогава слизам един етаж надолу и пускам втората – ако не се счупи това е границата. Ако се счупи – границата е долния етаж.
Хвърлям едната топка от 10-тия етаж, и ако не се счупи я хвърлям от 20-тия, и.т н докато се счупи. След като се счупи тази топка, правя опит с другата, като я хвърлям от девет етажа по- надолу, ако не се счупи от осем етажа по-надолу и така до етажа в тази десетка, от който ще се счупи. Максимум опити 10+9=19 опита. Това ми идва като мисъл на първо четене?!
Първото нещо, което ми идва на ум е:
– хвърляме една топка през етаж (1,3,5… n+2) и така докато се счупи;
– другата топка пробваме да я хвърлим от предходния етаж, до който сме стигнали;
– и да се счупи и да не се счупи последната – вече ще знаем отговора;
Вероятно има и доста по оптимално решение, но това ми дойде от раз в главата.
Аз стигнах до 14 опита – ако някой има по добри предложения да казва.
Моето е: Пускате едната топка от 14-тия етаж – ако се счупи с оставащата имате да обходите още 13 етажа (започвайки от първия).
Ако топката не се счупи отивате на 27мия етаж (14 + 13) – вече сте направили 2 опита и имате още 12 междинни етажа, които да обходите ако при хвърлянето от 27-мия етаж сте счупили топката.
Ако не се счупи третото хвърляне е от 39тия етаж (14 + 13 + 12) – 3 хвърляния и 11 междинни за обхождане.
И така докато не обходите всички етажи
Като почитателка на билярда и бивш запален играч, не бих посмяла да предположа, че билярдните топки са практически нечупливи, без да се консултирам с Гугъл. Въпреки възникналите ми съмнения – поради факта, че една билярдна топка все пак е достатъчно тежка, и ако бъде пусната от по-височко, може и да не остане цяла – мога само да ти кажа: за подобен експеримент ще е необходимо тяло, направено от друг материал. 😀 Може и да греша, разбира се, може и отговорът да е друг, и билярдните топки да се чупят. Ако е така, чакам с нетърпение да разбера повече. 😀
Макс 14 хвърляния.
Почваме от 14, после от 27, 39,50,60,69,77,84,90,95,99,100,101
При счупване – допълваме от последното успешно хвъляне до счупването.
Много лесно 🙂
Почваме от първия етаж, пускаме топката, ако не се счупи отиваме + 10 етажа (на десетия), пускаме топката, ако не се счупи + 10 и така, докато се счупи първата. Като се счупи почваме от долния край на интервала – пр. сме на 50 етаж и топката се чупи. Отиваме на 41 етаж и започваме да опитваме (предишния опит е бил на 40 и не се е счупила) със стъпка 1 – 41,42,43 и така докато се счупи.
Ще я мятам първата през 10 етажа и когато тя се счупи, ще пускам втората последователно от всеки етаж над последната 10-ка.
Примерно: 10 етаж – не се чупи; 20 – чупи се; 21 – не, 22 – да.
Математиката е далечна наука, за която съм слушал само от песните на африкански скитащи племена, но май така ще съм счупил максимум 19 глави на невинни минувачи.
Не съм съгласен, емперично не нито единственият, нито най-добрият метод. 🙂
Първото, което щях да направя е да взема двете ти билярдни топки в лаборатория и бих измерил минималната сила предизвикваща пластични, не еластични деформации във всяка от топките ти. Това най-вероятно ще ги унищожи.
Та, балансът е: 2 счупени топки и нито един опит.
След това бих се опитал да разбера върху какво ще падне топка падаща от всяка една от сградите. Пясък? Бетон? Вода? Бих погледнал в моята таблица каква плътност има всеки един от тези материали (или бих го измерил)
Останалото е чиста физика: бих изчислил от колко високо трябва да бъде пусната топката, вземайки земното ускорение пред вид, за да получи точно силата в триене или удар, при която деформациите по нея са пластични.
Бих научил колко метра е всеки етаж, бих изчислил кой етаж се оказва височината, която съм намерил и бих закръглил нагоре, до най-близкия етаж.
Готово: отговорът на въпроса ти: нито един опит не ми трябва. 🙂
Що ми се върти в главата нещо с бинарно търсене за първата топка и инкрементално за втората…
Първа топка (Х = Х/2, демек 50-тия етаж):
1. пуска се от етаж Х
2. ако се счупи се преминава на втората топка
3. ако не се счупи Х = Х/2 + Х/4 и иди на 1.
Втора топка: пуска се последователно на всички етажи между предпоследния и последния изпробвани за първата топка от момента в който тя се е счупила. Т.е. ако След 50-тия сме я счупили от 75-тия, втората се пуска от 50-тия до 75-тия етаж.
Контра-въпрос: на тия топки не им ли се ебава майката от толкова врътки нагоре-надолу? 🙂
aaaaa mnogo lesni zadachi dawash 🙂 (btw Taipei 101 100 ili 101 eta#a imashe? az ia sniamata sas 101.. ne che ima goliamo znachenie ama wse pak…)
mnogo hora mogat da reshat, che otgowora e 19 w nai-loshia sluchai 🙂 kato v cialata rabota se swe#da do formulata „n+100/n-1“ kadeto n e nomera na parwonachalno radelenie na eta#ite…
sirech ako wzemem parwata topka i pochnem da ia puskame ot 25-i, posle 50-ia, 75-ia i 100-ia eta# shte razberem w koia ot tezi sekcii sme stignali limita na topkata…
posle s drugata pochwame ot nai dolnia eta# na poslednia nespoluchliw opit s topka #1 i taka dokato topka #2 se chupi ili dokato stignem predposlednia eta# ot sekciata… shto predposlednia.. ami zashtoto ako imame 10 eta#a w sekciata i znam che topka 1 se e schupila ot 10-ia i sme naprawili spolochliw opit ot 9-i eta# to togawa otgowora e 9-i….
saotwetno po gornata formulka si namirame localnia minimum kadeto n e w interwala [1,100] (shto do 100 a ne 101.. ami zashtoto ako topka 1 ne se chupi ot 100-nia eta# shte ia hwarlim pak ot 101-ia i gotowo.. samo 11 hwarleneta 🙂 bez da habim topka #2).
Ta lokalnia minimum na funciikata e pri n=10, demek delim zdgarata na 10 sekcii to po 10 eta#a i pochwame da harliame topki kato chetnici na shipka…. 🙂
da ama obache mo#e da se namali dopalanitelno.. ako broia na eta#ite za wsiaka sekcia se namalia s edin.. kato startowata tochka an algoritama triabwa da e nai-loshia sluchai na prednoto reshenie minus 1 (demek da si optimizirame reshenieto i da go podobrim pone s 1) ta pochwame s 180i eta#.. sled towa 17-i i taka dokato stignem poslednia eta# (BTW ako 100 go zamenim s niakakwa promenliwa mo#e i za Halifa Bur# da ia smetnem zadachata 🙂 )….
ta nachi kato gi smetnem neshtata w nai loshia sluchai izliza che poslednata sekcia shte ima 8 eta#a (7 sekcii obshto) koeto prawi 8+7-1=14 🙂
P.P.
Takiwa zadachi maina sam reshawal prez po-goliamata chast ot studentskia si #iwot.. wse pak zawarshih Kombinatorika i Optimizacia 🙂 sega se boria kato prase s tikwa s razlichen wid matematiki.. po-skoro statistiki… 🙂 s drugi dimu blagodaria ti che mi napomni za mnadostta 🙂
Правилният отговор наистина е 14.
За произволно висока сграда с N етажа, формулата е:
x(x+1)/2 = N,
като най-голямото решение на X се закръгля нагоре.
За 101-етажна сграда имаме:
x(x+1)/2 = 101
x^2 + x – 202 = 0
x1 = 13.7214
x2 = -14.7214
x1>x2 => решението е round(x1)=round(13.7214)=14.
Самото решение е да започнем от 14-тия етаж и после да увеличаваме всеки следващ опит с 13, 12, 11, 10 и т. н. етажа, ако топката не се чупи. Ако се счупи, продължаваме от последния успешен опит без счупване и увеличаваме етажите с 1, докато достигнем верния отговор.
1. 0 + 14 = 14
2. 14 + 13 = 27
3. 27 + 12 = 39
4. 39 + 11 = 50
5. 50 + 10 = 60
6. 60 + 9 = 69
7. 69 + 8 = 77
8. 77 + 7 = 84
9. 84 + 6 = 90
10. 90 + 5 = 95
11. 95 + 4 = 99
12. 99 + 3 = 102 (стига ни дотук за 101 етажа)
Ето няколко примера.
Пример 1: Топките се чупят на 58-ми етаж.
1. Хвърляме първата топка от 14 етаж – не се чупи.
2. Хвърляме първата топка от 27 етаж – не се чупи.
3. Хвърляме първата топка от 39 етаж – не се чупи.
4. Хвърляме първата топка от 50 етаж – не се чупи.
5. Хвърляме първата топка от 60 етаж – чупи се.
6. Хвърляме втората топка от 51 етаж – не се чупи.
7. Хвърляме втората топка от 52 етаж – не се чупи.
8. Хвърляме втората топка от 53 етаж – не се чупи.
9. Хвърляме втората топка от 54 етаж – не се чупи.
10. Хвърляме втората топка от 55 етаж – не се чупи.
11. Хвърляме втората топка от 56 етаж – не се чупи.
12. Хвърляме втората топка от 57 етаж – не се чупи.
13. Хвърляме втората топка от 58 етаж – чупи се – това е етажът.
Пример 2: Топките се чупят на 60-ти етаж.
1. Хвърляме първата топка от 14 етаж – не се чупи.
2. Хвърляме първата топка от 27 етаж – не се чупи.
3. Хвърляме първата топка от 39 етаж – не се чупи.
4. Хвърляме първата топка от 50 етаж – не се чупи.
5. Хвърляме първата топка от 60 етаж – чупи се.
6. Хвърляме втората топка от 51 етаж – не се чупи.
7. Хвърляме втората топка от 52 етаж – не се чупи.
8. Хвърляме втората топка от 53 етаж – не се чупи.
9. Хвърляме втората топка от 54 етаж – не се чупи.
10. Хвърляме втората топка от 55 етаж – не се чупи.
11. Хвърляме втората топка от 56 етаж – не се чупи.
12. Хвърляме втората топка от 57 етаж – не се чупи.
13. Хвърляме втората топка от 58 етаж – не се чупи.
14. Хвърляме втората топка от 59 етаж – не се чупи, следователно се чупят на 60-ти етаж.
Пример 3: Топките се чупят на 101-ви етаж.
1. Хвърляме първата топка от 14 етаж – не се чупи.
2. Хвърляме първата топка от 27 етаж – не се чупи.
3. Хвърляме първата топка от 39 етаж – не се чупи.
4. Хвърляме първата топка от 50 етаж – не се чупи.
5. Хвърляме първата топка от 60 етаж – не се чупи.
6. Хвърляме първата топка от 69 етаж – не се чупи.
7. Хвърляме първата топка от 77 етаж – не се чупи.
8. Хвърляме първата топка от 84 етаж – не се чупи.
9. Хвърляме първата топка от 90 етаж – не се чупи.
10. Хвърляме първата топка от 95 етаж – не се чупи.
11. Хвърляме първата топка от 99 етаж – не се чупи.
12. Хвърляме първата топка от 100 етаж – не се чупи.
13. Хвърляме първата топка от 101 етаж – чупи се, следователно това е етажът.
Всъщност, с 2 топки и 14 опита можете да откриете отговора дори за 104-етажна сграда.
За финал, Бурж Халифа има 124 етажа. Може да се упражните 🙂
„Та, представете си, че имате две билярдни топки и искате да разберете, кой е най-високият етаж, от който може да хвърлите билярдна топка, без тя да се счупи.“ ( 101 етажа )
„Големият въпрос е: как ще разберете отговора с две билярдни топки и минимален брой опити?“
Тази задачка има много отговори.
1. Математически – на Петър : 14 броя
– Верен математически, но грешен практически. Защото на практика, ако хвърлите трета топка от вече определения етаж, вероятността тя да се счупи е почти точно 50:50. Има огромно количество фактори, от които зависи резултата: климатични условия; кой, как и накъде хвърля топката; как са съхранявани топките; и т.н.
2. Физически – на Камен : Отговорът ще е един точно поределен етаж.
– Отново грешен практически, защото не може да обхване абсолютно всички физически фактори които имат влияние, а ако хвърля човек има и не физически фактори.
3. Практически :
Отговорът трябва да бъде таблица със 101 числа показващи, каква е вероятноста топката да се счупи. Като пример ако топката се хвърли от 101 етаж и в този момент има силна буря или пориви на вятъра, и тя падне на в някоя градинка на мека пръст, може да не се счупи.